Materyèl ou pral gade a se yon materyèl nou ofri gras a
Lisans Kreyativite non-komèsyal pou pataje
Sipò ou ap ede Klas Ouvè M.I.T. kontinye ofri
bon resous edikasyon gratis pou tout moun.
Pou bay yon kontribisyon pa w, oubyen pou w gade lòt materyèl
nan plis pase yon santenn kou, al vizite Klas Ouvè M.I.T.
nan sit entènèt: ocw.mit.edu
Tou dabò, pou dezyèm leson sa a mwen ta renmen fè nou sonje
sa nou te fè nan dènye leson an.
Nan dènye leson an nou te defini derive kòm
pant liy tanjant.
Sa se te aspè jeyometrik la. Epi tou,
nou te fè kèk kalkil.
Nou te rive montre ki jan derive 1/x
se te -1/ x^2.
Epi tou nou te kalkile derive x nan n-yèm puisans
lè n=1, 2, elatriye. Se te bay x, eskize m, nx^(n-1).
Alò, se sa nou te fè nan dènye leson an. Jodi a, mwen vle
fin gade kèk lòt aspè sou sa yon derive ye.
Sa enpòtan anpil. Se ka bagay pi enpòtan
mwen di nan leson sa a.
Men, n ap oblije refleshi sou sa ankò lè nou rekòmanse
epi lè nou kòmanse sèvi ak kalkil diferansyèl pou nou rezoud pwoblèm pratik nan lavi.
Alò, n ap kontinye pale sou ki sa yon derive ye,
e sa se suit esplikasyon nou te bay nan dènye leson an.
Nan dènye leson an, nou te pale de entèpretasyonjeyometrik.
Jodi a nou pral pale de
to varyasyon kòm entèpretasyon derive.
Sonje nou te trase graf fonksyon y=f(x).
Epi nou te swiv varyasyon nan x, epi bò isit la
nou te suiv varyasyon nan y.
Nou pral sèvi ak nouvo pèspektiv sa a pou nou suiv,
to varyasyon nan x ak to varyasyon nan y.
Se to varyasyon relatif sa a ki enterese nou.
Sa se delta y / delta x e sa gen yon lòt
entèpretasyon.
Sa se to varyasyon mwayenn lan.
Dabitid, nou ta panse kon sa: Si x t ap mezire yon peryòd tan,
alò mwayenn lan lè sa a, li tounen yon to,
e mwayenn lan kouvri yon entèval tan delta x.
Lè sa a, pou limit la, ou ekri dy/dx, e sa se
mwayenn to varyasyon an, e sa se to ki
kalkile vitès enstantane a.
Bon, sa se lide mwen vle diskite kounyea.
Mwen pral ban nou kèk egzanp.
Ann gade pou nou wè.
Tou dabò, kèk egzanp Nan syans fizik.
Dabitid, Q se non pou yon chaj, epi dq/dt
se sa ki kouran.
Alò, sa se yon egzanp nan syans fizik.
Yon lòt egzanp, youn ki pi fasil pou n konprann,
se pou n sèvi ak lèt “s” pou n reprezante distans/ Nan ka sa a, to varyasyon an,
se sa nou rele vitès.
Sa se 2 egzanp ki sèvi anpil, e mwen ta renmen
dekri dezyèm egzanp lan ak plis detay
paske mwen panse li enpòtan pou nou konprann tout bon vre
zafè vitès enstantane a.
E mwen ka sèvi ak bilding kote nou ye la a pou mwen fè sa.
Nou ka deja konnen, petèt tou nou ka pa konnen, chak ane pou fèt Latousen (Alowin),
gen yon bagay ki fèt nan tèt bilding sa a.
Se sa yo rele “lage joumou.”
Yo lage yon joumou
soti nan tèt bilding lan rive atè anba a. Nou pral esplike lide to varyasyon sa a
ak egzanp joumou k ap tonbe a.
Men sa ki rive nan bilding sa a. Ann gade bilding lan.
Men yon pwen. Sa se bèl gazon devan bilding lan.
Epi men yon moun ak yon objè nan men li. Objè a genlè piti.
Men, obè pa vrèman piti lè ou pre li.
Yo jete objè a
soti depi sou arebò a la a.
Epi li tonbe.
Nou konnen tout bagay nan M.I.T, tout bagay oswa prèske tout bagay,
se pwojè nan syans fizik.
Se sa ki menmen zafè lage joumou an.
Alò bilding lan apeprè 300 pye
nan wotè. Epi nou-menm nou bò isit la nan premye etaj ki ka sèvi a.
Olye de 300 pye, nap sèvi ak 80 mèt
pou kalkil yo
ka pi fasil.
Alò nou gen wotè a ki kòmanse a 80 mèt a lè t = 0.
Epi, pou nou kalkile akselerasyon akoz pezantè nou gen
fòmil sa a pou h. h se wotè a.
Alò, lè t=0, nou anwo nèt, h se 80 mèt,
nou mezire sa an mèt.
Lè t=4, nou wè (5 * 4^2) se 80.
Mwen te chwazi chif sa yo espre pou
nou ka rive anba nèt.
Alò, lide varyasyon mwayenn sa a,
ki fè varyasyon mwayenn lan, oubyen vitès mwayenn la, petèt nou ka rele l
vitès mwayenn, se tan sa a joumou an ap pran
pou l tonbe. Se pral
varyasyon nan h / varyasyon nan t
E sa kòmanse kòm… ak ki sa li kòmanse?
Li kòmanse a 80, pa vre?
E li fini a 0.
Men, an reyalite, fòk nou fè sa al lanvè.
Fòk nou konsidere 0-80 paske premye chif la se dènye pozisyon an,
epi dezyèm chif la, se premye pozisyon an.
E sa dwe divize pa 4 – 0;
4 segonn mwens 0 segonn.
Alò, natirèlman sa se -20 mèt pa segonn.
Alò vitès mwayenn nèg sa a se 20 mèt pa segonn.
Pou ki sa mwen chwazi egzanp sa a?
Paske, se nòmal, mwayenn lan, menm si sa enteresan,
sa pa vreman enteresan pou moun
k ap gade joumou sa a.
Sèl sa ki enterese nou vreman, se vitès enstantane
lè joumou a frape atè. Alò, nou ka kalkile vitès sa a
lè li rive anba nèt.
Alò, ki sa vitès enstantane a ye?
Se derive a, oubyen pou mwen kenbe menm notasyon mwen te konmanse sèvi avè l deja a,
se d/dt de h.
Dakò?
Alò se d/dt de h.
Sonje nou gen fòmil pou bagay sa yo.
Nou ka kalkile derive.
fonksyon sa a kounyea. Nou te deja fè sa yè.
Alò nou pral pran to varyasyon an Epi si ou gade sa byen,
to varyasyon 80 se 0,
mwens to varyasyon pou sa a -5t^2, sa se -10t.
Alò, nou ka sèvi ak fòmil sa yo: d/dt de 80 egal 0,
epi d/dt de t^2 egal 2t.
Ka sa a espesyal.
Men, m ap fè koken la a, Gen yon ka espesyal
tout moun ka wè.
Mwen pa t mete li bò isit la.
Ka n=2 se dezyèm ka ki la a.
Men, lè n=0 nou ka kalkile derive a tou.
Paske sa se yon konstant.
Derive yon konstan se 0.
Apre sa, faktè n lan la a se 0, e nou toujou wè sa.
Kounyea, si ou gade fòmil ki sou tèt li w ap wè
se ka kote n=-1.
Alò, nap gen yon pi gwo echantiyon tale, lè nou rive nan kalkil ak puisans.
Oke.
Annou retounen bò isit la kote nou gen to varyasyon nou an.
Men sa li ye.
Anba a, nan pwen kontak la, nou gen
t=4 epi h’, ki se derive a,
egal -40 mèt pa segonn.
Derive a 2 fwa pi vit ke vitès mwayenn ki la a Si ou bezwen
konvèti l, se apeprè 90 mil a lè.
Se pou sa polis yo la a minui lavèy fèt Latousen (“Alowin”)
pou yo asire tout moun. Epi tou, se pou sa
fòk ou pare pou benyen apre sa.
An tou ka, se sa k pase. Joumou a frape 90 mil a lè.
An reyalite, bilding la yon ti jan pi wo,
gen reziztans van epi mwen sèten nou ka fè yon rechèch
ki pi konplè sou egzanp sa a.
Bon. Kounyea mwen vle ban nou de twa lòt egzanp
paske tan ak kalite paramèt ak varyab sa yo
se pa sèl sa ki enpòtan nan kalkil diferansyèl ak entegral.
Si se te sèl kalite syans fizik sa yo ki te ladan l,
sijè sa a t ap pi espesyalize anpil.
Alò mwen vle ban nou kèk egzanp
ki pa gen tan kòm varyab.
Konsa twazyèm egzanp mwen pral bay la se...
Lèt t repranzate tanperati, dt/dx reprezante
sa ki rele gradyan tanperati.
E sa enpòtan anpil lè n ap prevwa meteyo
paske se diferans tanperati sa yo
ki lakoz van ak lòt chanjman nan atmosfè a.
E gen yon lòt tèm enpòtan ki nan tout syans ak jeni
Mwen pral pale nan diskisyon
sou sansibilite mezi.
Ban m esplike sa.
Mwen pa vle rete twò lontan sou sa paske m ap montre nou sa
jis pou mwen ka entwodui kèk lide ki nan devwa nou yo.
Nan premye pwoblèm nan devwa a,
gen yon egzanp ki baze sou yon sistèm pozisyònman global (“GPS”)
ki senplifye nèt. Se yon GPS senp kote latè tou plat.
Epi nan sitiyasyon sa a, si latè tou plat,
se yon liy orizontal konsa.
Apre sa, ou gen yon satelit, ki bò isit la.
Li ta pi bon si satelit la sou tèt late, e si satelit la ka lokalize
egazkteman pwen ki dirèkteman anba
satelit la.
Alò, pwen sa a se yon pwen nou ka lokalize.
E mwen chita la, avèk ti sistèm pozisyonman global (“GPS”) mwen,
e mwen vle konnen ki kote mwen ye.
E jan pou mwen konnen ki kote mwen ye, se pou m kominike
ak satelit sa a gras ak siyal radyo. Se kon sa mwen ka mezire distans sa a
ki rele h.
Epi sistem la ap kalkile distans orizontal la
ki se L.
Alò, sa nou ka mezire se:
h gras a siyal radio ak yon mont oubyen plizyè mont.
Apre sa, L depann de h.
Epi, men sa ki enpòtan nan tout sistèm sa yo:
nou pa fouti konnen ki sa h ye egzakteman.
Gen yon erè nan h nou pral reprezante ak delta h.
Nou pa fouti konnen ki sa h ye egzakteman.
Sa ki bay pi gwo dout nan GPS se nan iyonosfè a sa soti.
Men, gen anpil koreksyon
tout kalite ki fèt.
Epi tou si ou nan bilding lan,
li difisil pou mezire l.
Men se yon sijè ki enpòtan anpil.
Mwen pral eksplike sa talè.
Lide a se pou nou konsidere delta L.
Nou estime l gras a konsiderasyon rapò delta L / delta h ki
apeprè menm ak derive L
pa rapò a h.
Alò sa byen fasil paske
se kalkil diferansyèl ak entegral.
Kalkil diferansyèl ak entegral se pati ki pi fasil la e li pèmèt nou
konprann plizyè pwoblèm pratik ki tou pre nou la a.
Konsa, rezon ki fè sa dwe enterese nou anpil, se paske
sa sèvi tout tan pou fè avyon ateri.
Se pou sa fòk yo konnen kote avyon w lan ye, ak ki wotè li ye, elatriye.
E fòk erè nan kalkil distans sa yo
pa depase kèk mèt.
Dakò. Kounyea, nou fini
ak entwodiksyon jeneral
sou ki sa derive ye.
Mwen sèten w ap fin abitye ak sa
nan anpil lòt diskisyon nan kou sa a.
E kounyea fòk nou retounen nan bon jan detay.
Èske tout moun satisfè ak sa nou rive fè jouk kounyea?
Wi?
Etidyan: Kòman ou te rive kalkile ekwazyon wotè a?
Pwofesè: Aaa... Bèl kesyon.
Kesyon an se koman mwen rive kalkile ekwasyon wotè sa a?
Mwen envante l paske se fòmil nan syans fizik
ou pral aprann lè ou pran klas 8.01. Sa gen rapò ak vitès la.
Si ou kalkile derive vitès, sa ba w akselerasyon.
Epi akselerasyon akoz pezantè, se 10 mèt pa segonn.
E sa se dezyèm derive sa a.
An tou ka,
mwen annik rale li
nan kou syans fizik nou.
Alò ou ka annik di: al gade 8.01.
Oke. Lòt kesyon?
Dakò, ann kontinye.
Kounyea fòk mwen pi sistematik sou kesyon limit yo.
Annou fè sa kounyea.
Mwen vle pale de limit ak kontinuite.
E sa ap prepare nou pou n derive tout lòt fòmil,
tout lòt fòmil nou pral bezwen
pou kalkile derive tout fonksyon nou konnen yo.
Sonje, se objektif nou sa, e se yon semenn ase ki rete,
ki fè pito nou kòmanse.
Alò premyèman gen sa mwen ta rele “limit fasil”.
Ki sa ki yon limit fasil?
Men yon egzanp limit fasil: limit lè x ap pwoche 4 de (x + 3/ x^2 + 1).
limit lè x ap pwoche 4 de (x + 3/ x^2 + 1)
Ak kalite limit sa a, sèl sa mwen bezwen fè pou m evalye li,
se mete x = 4. Kon sa, sa mwen vin jwenn la a, se 4 + 3/ (4^2 + 1).
se 4 + 3/ (4^2 + 1)
E sa jis vin tounen 7/17.
Epi sa tou fini la.
Alò, sa se yon egzanp yon limit ki fasil pou kalkile—yon limit fasil.
Men yon dezyèm kategori limit. Bon, sa se pa sèl dezyèm kategori limit ki egziste.
Men, m jis vle pou nou note sa.
Sa enpòtan anpil.
Derive toujou pi difisil pase sa.
Ou pa ka chape anba difikilte sa a.
Alò, pou ki sa?
Bon, lè ou pran yon derive, ou pran
lè x ap pwoche x0 de f(x). Alò, n a ekri li
nan tout bèlte li.
Men fòmil pou derive a.
Kounyea remake si nou mete x = x0, sa toujou bay 0/0.
Ki fè tou senpleman sa pa janm mache.
Ki fè nou pral toujou bezwen yon anilasyon
pou limit la sa gen sans.
Kounyea, pou m ka rann bagay yo yon jan pi fasil pou mwen,
pou m ka esplike ki sa k ap pase ak limit yo, fòk mwen esplike
yon lòt ti notasyon.
Sa mwen pral esplike la a se sa yo rele
limit a goch ak limit a dwat.
Si mwen pran limit lè x ap pwoche x0
avèk la a yon siy plis la a pou yon fonksyon kèlkonk, se sa yo rele
limit a dwat.
E mwen ka montre sa ak yon ti shema.
Alò, sa sa vle di?
Sa vle di pratikman menm bagay ak x ap pwoche x0
Men, gen yon lòt restriksyon sou x, ki gen rapò
ak siy plis sa a, ki vle di x ap soti sou kote pozitif x0.
Sa vle di x pi gwo pase x0.
E lè mwen di a dwat, sa vle di fòk gen yon tirè la a.
Limit la a dwat paske sou liy chif yo, si x0 se la li ye,
x ap sou bò dwat x0.
Dakò?
Alò, se sa ki limit a dwat la.
E se sa ki se bò goch tablo a. Epi sou bò dwat tablo a,
se la m ap mete limit a goch la, jis pou m lage nou
nan konfizyon.
Alò sa a pral gen siy mwens lan la a. Mwen yon ti jan disleksik
e mwen swete nou-menm nou pa disleksik.
Ki fè se posib mwen fè fot nan sa.
Alò, se sa ki limit a goch la, e m ap fè shema sa a.
Ki fè sa jis vle di x ap pwoche x0,
men x ap sou bò goch x0.
Epi ankò, sou liy chif yo, men x0 epi x li-menm
l ap sou lòt bò x0.
Bon, de notasyon sa yo pral ede nou
klarifye plizyè bagay.
Li pi fasil vre pou nou gen tout deskripsyon sa yo
sou afè limit yo, olye pou nou jis konsidere an menm tan
limit sou tou 2 bò yo.
Dakò, konsa m vle bay yon egzanp sou sa.
Epi tou, yon egzanp sou ki jan pou nou kalkile
kalite pwoblèm sa yo.
Ki fè m ap pran yon fonksyon ki gen 2 definisyon diferan.
Ann di x + 1,
x + 1, lè x > 0,
epi -x + 2, lè x < 0.
Alò, petèt fòk nou mete yon vigil la.
Ki fè lè x>0,
se x + 1.
Kounyea mwen ka desinen yon graf pou sa.
Li pral yon jan piti paske m bezwen
foure li anba la a. Men, petèt m a mete aks la anba a.
Ki fè nan wotè 1, mwen gen sou bò dwat la yon liy ki gen pant 1,
ki fè li monte konsa.
Dakò?
Apre sa, sou bò goch la, mwen genyen yon liy ki gen pant -1.
Men, li vin kontre ak aks la nan 2 ki fè li anlè la a.
Ki fè mwen gen yon fòm antèn ki dwòl,
Men graf la.
Petèt m ta dwe ekri sa nan yon lòt koulè pou sa parèt pi klè.
Apre sa, si mwen kalkile 2 limit sa yo la a, men sa mwen vin wè:
limit lè x ap pwoche 0 sou bò dwat de f(x),
se menm jan ak limit lè x ap pwoche x0 de fòmil ki la a,
x + 1.
Sa vin tounen 1.
E si mwen pran limit sa a, ki fè se limit a goch la.
Eskize m, m te di nou mwen disleksik.
Sa a se dwat la. Alò se men dwat la.
Ann re-derape.
Kounyea m pral soti a goch, e se f(x) ankò. Men, kounyea
poutèt se sou bò sa a mwen ye, mwen pral sèvi
ak lòt fòmil lan,
- x + 2, e sa a li menm ap ban nou 2.
Kounyea, annou gade limit a goch ak limit a dwat la, e sa
se yon ti nyans, e se prèske sèl bagay mwen bezwen
pou nou rive suiv ak anpil atansyon kounyea.
Nou pa t bezwen valè x=0.
Avrèdi m pa t menm janm di nou sa f(0) te ye la a.
Si nou foure l ladan l... OK, nou ka foure l ladan l.
Dakò, annou foure l nan bò sa a.
Annou fè pou l vin sou bò sa a.
Sa vle di pwen sa a anndan, pwen sa a li-menm, li deyò.
Sa se yon notasyon ki popilè: ti sèk ki ouvri sa a
epi ti pwen ki fèmen sa a pou lè ou vle mete valè sa a anndan...
Ki fè nan ka sa a, valè f(x) vin menm
ak limit a dwat la. La a, valè a se 1. Se pa 2.
Dakò, sa a se te premye kalite egzanp lan.
Kesyon?
Dakò. Kounyea, pwochen travay nou pral fè,
se defini kontinuite
Sa se te lòt sijè a.
Se kon sa nou pral defini kontinuite:
f kontini sou x0, sa vle di limit f(x) lè x ap pwoche x0
se f(x0).
Pa vre?
Alò rezon ki fè m pase tout tan sa a ap okipe
bò goch la ak bò dwat la, elatriye, se paske m vle
pou nou fè atansyon pou yon moman
ak sa definisyon sa a gen ladan l.
Sa li vle di a se sa: kontinuite nan x0
gen divès engredyan.
Men premye engredyan an: fòk limit sa a egziste.
E sa, sa vle di fòk limit la gen valè
ni sou bò goch, ni sou bò dwat.
Epi tou fòk 2 valè sa yo menm.
Dakò, ki fè se sa k ap pase la a.
Epi, men dezyèm pwopriyete a: fòk f(x0) defini.
Ki fè mwen pa ka nan yon sitiyasyon kote mwen pa
menm montre ki sa f(x0) ye. Epi, fòk yo egal.
Dakò, se sitiyasyon an sa.
Kounyea, ban mwen reprann yon pati ki gendwa lakòz ti konfizyon nan
definisyon limit.
Bò sa a, bò a goch la, endepandan nèt,
li sèvi ak yon definisyon ki pa rantre
nan definisyon bò dwat la.
Sa se 2 bagay ki separe.
Sa a li menm se, pou evalye li, fòk ou toujou evite
pwen limit la.
Alò, sa se yon paradòks. Sa se egzakteman
kesyon an sa: èske se vre si ou mete x0 pou x, w ap jwenn
menm repons kòmsi ou te kalkile limit lè x ap pwoche x0?
Se kesyon sa a n ap konsidere la a.
Fòk nou fè distenksyon an pou nou ka di
sa yo se 2 bagay separe. Si se pa sa, sa ap jis yon totoloji.
Li pa gen okenn sans.
Men, avrèdi li gen sans paske youn nan bagay yo
nou ka evalye li pa rapò ak tout lòt pwen yo
esepte x0. Epi lòt la, nou ka evalye li dirèk-dirèk
sou pwen x0 an menm.
E vrèman, sa bagay sa yo ye, se egzakteman
egzanp limit ki fasil pou kalkile. Se egzakteman
sa n ap pale la a.
Se yo nou ka evalye nan fason sa a.
Alò, fòk nou fè distenksyon an.
E lòt sa yo se yo
nou pa p ka evalye nan fason sa a.
Ki fè se limit sa yo ki byennelve. Se poutèt sa nou okipe yo.
Se rezon sa a ki fè nou gen tout definisyon sa yo pou yo.
Dakò?
Kounyea, ki sa nou pral fè?
Bon, fòk nou fè nou fè yon ti vizit, yon ti vizit byen kout,
nan pak an dezòd kote sa nou rele fonksyon diskonti yo rete.
Alò sa se preske tout lòt fonksyon ki pa kontini yo.
Ki fè, premye egzanp lan la a, ban mwen jis ekri l anba la a.
Sa se egzanp diskontinuite ki sote.
Ki sa yon diskontinuite ki sote ta ka ye?
A vrè di, nou deja wè sa.
Diskontinuite ki sote, nou te wè sa nan egzanp
nou te genyen la a.
Se lè limit a goch ak limit a dwat, tou lè 2 egziste.
Men, yo pa egal.
Dakò, ki fè sa te nan egzanp lan.
Pa vre?
Nan egzanp sa a, 2 limit yo,
youn ladan yo te 1, epi lòt la te 2.
Alò, se sa ki diskontinuite ki sote.
E kalite pwoblèm sa a, kesyon si yon fonksyon kontini ou pa,
sa gen dwa parèt yon ti jan teknik. Men, se yon pwoblèm ki te bay anpil moun anpil pwoblèm.
yon pwoblèm ki te bay anpil moun anpil pwoblèm.
Bob Merton, ki te yon pwofesè nan MIT lè li te fè travay
ki te ba li pri Nobèl nan ekonomi, te enterese nan
kesyon sa a menm: Èske pri diferan kalite estòk kontini
sou bò goch ouswa sou bò dwat nan divès fonksyon.
E sa se te yon bagay ki te enpòtan nan devlopman modèl
ki deside pri nou peye pou envestisman nou fè
tout tan kounyea.
Ki fè bò goch ak bò dwat ka vle di 2 bagay trè diferan. Nan ka sa a, bò goch la reprezante
sa ki te deja fèt nan lepase, epi bò dwat la reprezante sa ki pral fèt nan lavni.
Se konsa vin gen yon gwo diferans si fonksyon an kontini
a goch oswa a dwat.
Èske pwen an la a menm, yon kote nan mitan,
yon lòt kote ?
Sa a se yon kesyon enpòtan.
Alò pwochen egzanp mwen vle ban nou an
yon ti jan pi difisil.
Se sa yo rele « diskontuinite ki pwolonjab ».
E sa sa vle di, sa vle di limit a goch
ak limit a dwat, tou lè 2 egal.
Ki fè si ou fè yon graf, ou gen yon fonksyon
k ap vini konsa, epi li gen yon twou. Ki kote? Sa k konnen.
Swa petèt fonksyon an pa defini ouswa petèt li defini
anwo la a, epi apre li jis kontinye ale.
Dakò?
Ki fè 2 limit yo se menm bagay.
Epi apre, sa tou natirèl, fonksyon an se sipliye l ap sipliye pou nou redefini l
pou nou ka retire twou sa a.
E se pou sa nou rele sa yon « diskontuinite ki pwolonjab ».
Kounyea, ban m ban nou yon egzanp sou sa, ou pito
de twa egzanp.
Sa yo se egzanp ki enpòtan. Nou pral
travay avèk yo toutalè.
Premye egzanp lan se fonksyon g(x), ki se sinx / x.
Dezyèm egzanp lan se fonksyon h(x), ki se 1-cosx / x.
Alò, nou gen yon pwoblèm nan g(0): g(0) pa defini.
An tou ka, fonksyon sa a gen sa yo rele yon sengilarite ki pwolonjab.
Ki fè limit lè x ap pwoche 0 de sinx / x, limit sa a egziste.
Avrèdi, li egal a 1.
Alò, sa se yon limit ki vreman enpòtan. Nou pral travay sou li
oswa nan fen leson sa a, oswa nan kòmansman
pwochen leson an.
Epi tou, limit lè x a pwoche 0 de 1-cosx / x, limit sa a se 0.
Petèt m a mete sa yon ti jan pi lwen
pou nou ka li l.
Dakò. Alò, sa yo se done nou pral bezwen
pi devan.
E sa yo di sèke fonksyon sa yo gen sengilarite
ki pwolonjab—eskize, diskontinuite ki prolonjab—nan x=0.
Dakò. Alò, jan m di a, n ap tounen sou sa toutalè.
Dakò. Ki fè èske gen okenn kesyon anvan mwen kontinye?
Wi? Etidyan: (Son pa klè)
Pwofesè: Kesyon an se: Pou ki sa sa vre?
Se sa kesyon ou an?
Repons lan vreman vreman ta dwe parèt li pa klè. Mwen poko montre nou sa.
E si nou pa t sezi wè sa, sa twa
dwòl nèt.
Alò, nou poko esplike sa.
Fòk nou rete branche jisaske nou esplike sa.
Dakò?
Nou poko montre sa.
E an reyalite menm lòt pawòl sa a, ki pral
kontinye parèt pi dwòl toujou, nou poko esplike sa non plis.
Dakò. Ki fè nou pral rive sou sa, jan mwen di a,
nan fen leson sa a oswa nan kòmansman pwochen leson an.
Gen lòt kesyon?
Dakò. Annou kontinye vizit
pak diskontinuite yo.
E mwen kwè mwen vle sèvi
ak ni limit a dwat ni limit a goch.
Ki fè m ap kenbe sa ki sou tablo sa a sou limit a dwat ak limit a goch.
Alò, yon twazyèm kategori diskontinuite, se sa yo rele
« diskontinuite enfini ».
E nou deja kwaze ak youn nan sa yo.
M pral desine yo bò isit la.
Sonje fonksyon y se 1/x.
Se fonksyon sa a ki la a.
Men, kounyea mwen ta renmen desinen lòt branch lòt branch ipèbòl la anba la a.
Epi mwen pral konsidere valè negatif
pou x.
Alò, men graf pou 1/x.
E fasilite nou genyen pou nou distenge ant limit a goch ak limit a dwat,
sa enpòtan vre paske la a
mwen ka ekri limit lè x ap pwoche 0 de 1/x.
Ki fè sa a li menm, l ap sòti de bò dwat la epi l ap monte.
Alò limit sa a se enfini.
Alòske, limit nan lòt direksyon an, limit a goch la,
sa a li menm, l ap desann.
E sa a, li diferan nèt. Sa se mwens enfini.
Kounyea gen de moun ki di limit sa yo pa defini.
Men, tout bon vre, yo prale nan yon direksyon ki byen defini.
Depi sa posib, fòk nou pote bon jan presizyon
sou sa limit sa yo ye.
An tou ka, pawòl ki di limit lè x ap pwoche 0 de 1/x
se enfini, pawòl sa a pa kòrèk menm.
Oke, sa pa vle di moun pa ekri sa.
Sa pa kòrèk menm
Sa pa vle di yo pa ekri l.
Siman ou dwe deja wè bagay kon sa.
Se paske moun sa yo annik konsidere
branch a dwat la sèlman.
Yo pa fè yon fot yo nesesèman
Men, an tou ka, gen neglijans.
E gen kèk neglijans nou ka sipòte. Epi gen kèk lòt,
fòk nou eseye evite.
Konsa la a, ou vle di sa, epi sa fè yon diferans.
Pa egzanp, plis enfini se ka yon kantite enfini lajan ou gen nan pòch ou,
Men, mwens enfini se ka yon kantite enfini lajan ou dwe.
Sa se yon gwo diferans.
Yo pa menm menm.
Konsa, sa a se neglijans,
e sa a vreman pi kòrèk.
Oke. Kounyea, an plis de sa, m vle montre
yon lòt bagay.
Sonje nou te kalkile derive a.
Se te -1/x^2.
Men, mwen vle trase graf sa a epi m ap fè
kòmantè sou li.
Kidonk, mwen pral trase graf la dirèkteman anba
graf fonksyon an.
Epi remake byen ki sa graf sa a ye.
Li fèt konsa, li toujou negatif, e li pwente sou anba.
Konsa, kounyea, sa ka parèt yon jan dwòl
pou derive fonksyon sa a se nèg sa a. Men se akòz
yon bagay ki enpòtan anpil.
E nou dwe toujou sonje sa lè n ap pale de derive.
Derive yon fonksyon a pa oblije sanble ak
fonksyon an ditou.
Konsa, ou dwe retire lide sa a nan tèt ou.
Gen kèk moun ki panse si yon fonksyon desann, derive a
dwe desann tou.
Annik bliye entuisyon sa a.
Li pa kòrèk.
Sa n ap travay sou li la a, si ou sonje, se pant lan.
Konsa si ou gen yon pant la a, ki koresponn senpleman a yon kote la a,
e pandan pant lan ap vin yon ti jan mwen rèd,
se pou sa n ap pwoche
aks orizontal la.
Kantite a ap vin pi piti plis n ap pwoche.
Kounyea, bò isit la, pant lan negatif tou.
L ap desann, e pandan n ap desann la a, l ap vin
pi negatif toujou.
Pandan n a prale la a nan pant lan fonksyon sa a ap monte.
Men, pant li ap desann.
Dakò, konsa pant lan desann sou de bò yo. Epi notasyon
nou sèvi pou sa byen koresponn
ak afè bò goch ak bò dwat.
Sètadi, limit lè x ap pwoche 0 de -1/ x^2, sa pral egal
mwens enfini.
E sa se vre ni pou x lè l ap pwoche 0+
ni pou x lè l ap pwoche 0-.
Konsa tou lè 2 limit yo gen pwopriyete sa a.
Finalman, m ap fè yon dènye kòmantè
sou 2 graf sa yo.
Fonksyon sa a se yon fonksyon enpè. Lè ou kalkile derive
yon fonksyon enpè, sa toujou ba wou
yon fonksyon pè.
Sa byen koresponn ak afè 1/x se yon puisans enpè
epi x^1 se yon puisans enpè epi x^2 se yon puisans pè.
Ak tou sa, entuisyon nou ta dwe ranfòse lide nou genyen
ki di graf sa yo kòrèk.
Kounyea, gen yon dènye kategori diskontinuite
m vle mansyone rapidman e m ap rele yo
« lòt diskontinuite ki lèd ».
E yo anpil anpil.
Men yon egzanp : y = sin 1/x
y = sin 1/x lè x ap pwoche 0.
E sa sanble yon bagay prèske konsa.
Ale vini, ale vini.
Li varye a lenfini lè x ap pwoche 0.
Pa gen ni limit a goch ni limit a dwat nan ka sa a.
Se konsa gen youn voum ak yon pakèt fonksyon ki nan ka sa a.
Erezman, nou pa pral okipe yo nan kou sa a.
Nan lavi nou, anpil fwa, gen fonksyon k ap pede monte-desann
lè tan ap pwoche enfini. Men, nou pa p fatige tèt nou
ak sa kounyea.
Oke, sa se dènye pale n ap fè sou diskontinuite.
Kounyea mwen bezwen tabli baz pou fòmil
pou pwochen leson an.
Mwen vle gade avè nou yon lide enpòtan,
yon zouti pou limit.
Konsa, sa pral tounen yon teyorèm.
Erezman se yon teyorèm tou kout.
E li gen yon prèv tou kout.
Teyorèm lan rele
«si yon fonksyon gen derive, fonksyon an gen kontinuite ».
E men sa teyorèm lan di : Si f gen derive,
sa vle di, si derive a egziste nan x0,
, f kontini nan x0.
Konsa, nou pral bezwen teyorèm sa a tankou yon zouti,
se yon etap enpòtan nan règ pwodui ak kosyan.
Alò, mwen ta renmen bay prèv teyorèm la kounyea.
Bon, men prèv la.
Erezman, prèv la se sèlman yon grenn liy.
Dabò, m vle byen ekri sa nou bezwen
tcheke a. Men sa nou bezwen
tcheke a : èske limit,
èske limit lè x ap pwoche x0, de f(x) - f(x0), sa egal 0 ?
Wi, se sa nou vle tcheke.
Nou poko konn si se vre. Men, n ap eseye tcheke
si sa se vre ou si se pa vre.
Sa se menm ak pawòl ki di fonksyon an kontini
paske limit f(x) la sipoze egal f(x0),
e konsa diferans sa a dwe gen limit 0.
E kounyea, jan pou nou pwouve sa, se annik reekri li
apre nou miltipliye epi divize li pa (x-x0).
Konsa, m ap re-ekri limit lè x ap pwoche 0 de f(x ) – f (x0 ) divize pa x-x0 miltipliye pa x-x0.
limit lè x ap pwoche 0 de f(x ) – f (x0 ) divize pa x-x0 miltipliye pa x-x0.
Oke, m te ekri menm espresyon mwen te genyen la a.
Se menm limit la.
Men, mwen te ni miltipliye l ni divize l pa (x-x0).
Epi kounyea, lè m kalkile limit la, men sa k rive: limit premye faktè a se f’(x0).
limit premye faktè a se f’(x0).
Se sa nou konnen ki egziste an patan, dapre sipozisyon nou.
Epi limit dezyèm faktè a se 0 paske
limit lè x ap pwoche x0 de (x-x0) se 0.
Se byen sa.
Repons lan se 0, e se byen sa nou te vle.
Kidonk se prèv la.
Kounyea, gen yon bagay ki pa klè ditou nan prèv sa a.
Kite m montre nou sa anvan nou kontinye.
Sa vle di, nou abitye ak limit kote x egal x0.
E sa sanble n ap miltipliye, epi pa 0.
Sa se yon operasyon ki gate prèv
nan nenpòt ki sitiyasyon aljebrik.
Yo te montre nou sa pa ta ka janm mache.
Dakò.
Men, kalkil limit sa yo jwenn yon jan pou yo kabre pwoblèm sa a,
e mwen pral byen esplike ki jan sa fèt.
Nan kalkil limit sa a, nou pa janm sèvi ak x=x0.
Se egzakteman valè x nou pa konsidere
ditou nan limit sa a.
Se konsa nou kalkile limit.
E se sa ki te tèm lan jodi a jouk kounyea :
nou pa dwe konsidere x=x0, e sa fè miltiplikasyon
ak divizyon pa kantite sa a legal.
Kantite sa a ka piti. Men, li pa janm 0.
Kidonk, sa mache tout bon vre.
Epi nou fèk sot montre ki jan yon fonksyon ki gen derive se yon fonksyon ki kontini.
Konsa, m ap gen pou m kontinye ak limit sa yo ki enteresan anpil,
limit nan pwochèn leson an.
Men, an nou fè yon kanpe pou yon segonn pou n wè si gen kesyon
anvan nou rete.
Wi, gen kesyon.
Etidyan (Son an pa klè)
[Son pa klè]
Pwofesè: Repete prèv sa a la a?
Repete sa w di a.
Etidyan: [Son pa klè]
Pwofesè: Oke, konsa gen 2 etap nan prèv la.
Etap w ap poze kesyon sou li a se premye etap la.
Kòrèk?
E mwen sa m ap te di: si ou gen yon kantite epi
ou miltipliye kantite sa a pa 10/10, se menm kantite a.
Si ou miltipliye l pa 3/3, se menm menm kantite la.
2/2, 1/1 epi ale nèt.
Konsa, sa kòrèk si ou chanje sa a pou sa a.
Se menm bagay la egzakteman.
Se premye etap la.
Etidyan: ( Son pa klè)
Pwofesè: Chhhhhhh.
Kesyon an, se kouman prèv la, kouman liy sa a ye?
Kote pwen entewogasyon an ye a.
Konsa, sa m te tcheke se si kantite sa a ki sou bò goch la
egal a kantite sa a ki long e ki konplike a
ki egal a kantite sa a ki egal a kantite sa a.
Kidonk mwen tcheke pou wè si kantite sa a egal paske
dènye bagay la se 0.
Sa a egal sa a ki egal sa a ki egal 0.
E sa se prèv la.
Etidyan: ( Son pa klè)
Pwofesè: Sa se yon kesyon diferan.
Oke. Mwen sèvi ak ipotèz diferansyèl la
paske limit sa a egal a kantite sa a.
Limit sa a egziste.
Se konsa m sèvi ak ipotèz teyorèm lan.
Konklizyon teyorèm lan se se menm ak sa a paske
kontinuite se menm ak limit lè x ap pwoche x0
limit lè x ap pwoche x0 de f( x0)
Se definisyon kontinuite.
E m te retire f(x0) nan tou le 2 bò yo pou m fè
Konsa m di se kontinuite e se menm ak
kesyon sa a la a.
Dènye kesyon.
Etidyan: Kouman ou fè jwenn 0 a? (Son an pa klè)
Pwofesè: Kouman nou jwenn 0 a nan sa a?
Konsa, sa mwen di a, se pou ki sa kantite sa a
ap pwoche lòt kantite sa a.
M ap bay yon egzanp. M ap oblije efase yon bagay
pou m esplike sa
Men sa m di: limit lè x ap pwoche x0 de x-x0 se 0.
Se sa m di.
Oke. Èske sa reponn kesyon an?
Dakò.
Mande m lòt kesyon apre leson an.